圆和圆的位置关系

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    求证:⊙O与⊙B相外切.
    证实:连结BO,∵AC为⊙O的直径,AC=12,
    ∴⊙O的半径 ,且O是AC的中点
    ∴ ,∵∠C=90°且BC=8,
    ∴ ,
    ∵⊙O的半径 ,⊙B的半径 ,
    ∴BO= ,∴⊙O与⊙B相外切.
    练习(P138)
    (五)小结
    知识:①两圆的五种位置关系:外离、外切、相交、内切、内含;
    ②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系;
    ③两圆相切时切点在连心线上的性质.
    能力:观察、分析、分类、数形结合等能力.
    思想方法:分类思想、数形结合思想.
    (六)作业
    教材P151中习题A组2,3,4题.
    第二课时 相交两圆的性质
    教学目标
    1、把握相交两圆的性质定理;
    2、把握相交两圆问题中常添的辅助线的作法;
    3、通过例题的分析,培养学生分析问题、解决问题的能力;
    4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美.
    教学重点
    相交两圆的性质及应用.
    教学难点
    应用轴对称来证实相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线.
    教学活动设计
    (一)图形的对称美
    相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢?
    (二)观察、猜想、证实
    1、观察:同样相交两圆,也构成对称图形,它是以连心线为对称轴的轴对称图形.
    2、猜想:“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”.
    3、证实:
    对A层学生让学生写出已知、求证、证实,教师组织;对B、C层在教师引导下完成.
    已知:⊙O1和⊙O2相交于A,B.
    求证:Q1O2是AB的垂直平分线.
    分析:要证实O1O2是AB的垂直平分线,只要证实O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等,于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B.
    证实:连结O1A、O1B、 O2A、O2B,∵O1A=O1B,
    ∴O1点在AB的垂直平分线上.
    又∵O2A=O2B,∴点O2在AB的垂直平分线上.
    因此O1O2是AB的垂直平分线.
    也可考虑利用圆的轴对称性加以证实:
    ∵⊙Ol和⊙O2,是轴对称图形,∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴.
    ∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上.
    ∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点,
    ∴连心线O1O2是AB的垂直平分线.
    定理:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
    注重:相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦,而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.
    (三)应用、反思
    例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A,B两点,⊙Ol经O2。
    求∠OlAB的度数.
    分析:由所学定理可知,O1O2是AB的垂直平分线,
    又⊙O1与⊙O2是两个等圆,因此连结O1O2和AO2,AO1,△O1AO2构成等边三角形,同时可以推证⊙O l和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形,同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由
    ∠OlAO2=60°,推得∠OlAB=30°.
    解:⊙O1经过O 2,⊙O1与⊙O2是两个等圆
    ∴OlA= O1O2= AO2
    ∴∠O1A O2=60°,
    又AB⊥O1O2
    ∴∠OlAB =30°.
    例2、已知,如图,A是⊙O l、⊙O2的一个交点,点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA,交⊙O l、⊙O2于M、N。
    求证:AM=AN.
    证实:过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN,垂足为C、D,则OlC∥PA∥O2D,且AC= AM,AD= AN.
    ∵OlP= O2P ,∴AD=AM,∴AM=AN.
  

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  例3、已知:如图,⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点,C为⊙Ol上一点,AC交⊙O2于D,过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.
    求证:EC∥DF
    证实:连结AB
    ∵在⊙O2中∠F=∠CAB,
    在⊙Ol中∠CAB=∠E,
    ∴∠F=∠E,∴EC∥DF.
    反思:在解有关相交两圆的问题时,常作出连心线、公共弦,或连结交点与圆心,从而把两圆半径,公共弦长的一半,圆心距集中到一个三角形中,运用三角形有关知识来解,或者结合相交弦定理,圆周角定理综合分析求解.
    (四)小结
    知识:相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证实两线垂直或证实线段相等的依据.
    能力与方法:①在解决两圆相交的问题中经常需要作出两圆的公共弦作为辅助线,使两圆中的角或线段建立联系,为证题创造条件,起到了“桥梁”作用;②圆的对称性的应用.

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