圆周角

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    问题3:(1)一个非凡的圆弧——半圆,它所对的圆周角是什么样的角?
    (2)假如一条弧所对的圆周角是90°,那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?
    学生通过以上两个问题的解决,在教师引导下得推论2:
    推论2: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦直径.
    指出:这个推论是圆中一个很重要的性质,为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件,要熟练把握.
    启发学生根据推论2推出推论3:
    推论3:假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角是直角三角形.
    指出:推论3是下面定理的逆定理:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
    (三)应用、反思
    例1、如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.
    求证:AB·AC=AE·AD.
    对A层同学,让学生自主地分析问题、解决问题,进行生生交流,师生交流;其他层次的学生在教师引导下完成.
    交流:①分析解题思路;②作辅助线的方法;③解题推理过程(要规范).
    解(略)
    教师引导学生思考:(1)此题还有其它证法吗? (2)比较以上证法的优缺点.
    指出:在解圆的有关问题时,经常需要添加辅助线,构成直径上的圆周角,以便利用直径上的圆周角是直角的性质.
    变式练习1:如图,△ABC内接于⊙O,∠1=∠2.
    求证:AB·AC=AE·AD.
    变式练习2:如图,已知△ABC内接于⊙O,弦AE平分
    ∠BAC交BC于D.
    求证:AB·AC=AE·AD.
    指出:这组题目比较典型,圆和相似三角形有密切联系,证实圆中某些线段成比例,经常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形.
    例2:如图,已知在⊙O中,直径AB为10厘米,弦AC为6厘米,∠ACB的平分线交⊙O于D;
    求BC,AD和BD的长.
    解:(略)
    说明:充分利用直径所对的圆周角为直角,解直角三角形.
    练习:教材P96中1、2
    (四)小结(指导学生共同小结)
    知识:本节课主要学习了圆周角定理的三个推论.这三个推论各具特色,作用各异,在今后的学习中应用十分广泛,应熟练把握.
    能力:在解圆的有关问题时,经常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角或构成相似三角形,这种基本技能技巧一定要把握.
    (五)作业
    教材P100.习题A组9、10、12、13、14题;另外A层同学做P102B组3,4题.
    探究活动
    我们已经学习了“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”,但当角的顶点在圆外(如图①称圆外角)或在圆内(如图②称圆内角),它的度数又和什么有关呢?请探究.
    提示:(1)连结BC,可得∠E= ( 的度数— 的度数)
    (2)延长AE、CE分别交圆于B、D,则∠B= 的度数,
    ∠C= 的度数,
    ∴∠AEC=∠B ∠C= ( 的度数 的度数).

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