和圆有关的比例线段

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和圆有关的比例线段

    教学建议
    1、教材分析
    (1)知识结构
    (2)重点、难点分析
    重点:相交弦定理及其推论,切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点,而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识,主要应用与圆有关的计算和证实.
    难点:正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多,学生轻易混淆.
    2、教学建议
    本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论,做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论,做例3.第3课时是习题课,讲例4并做有关的练3.
    (1)教师通过教学,组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题,逐步培养学生研究性学习意识,激发学生的学习热情;
    (2)在教学中,引导学生“观察——猜想——证实——应用”等学习,教师组织下,以学生为主体开展教学活动.
    第1课时:相交弦定理
    教学目标:
    1.理解相交弦定理及其推论,并初步会运用它们进行有关的简单证实和计算;
    2.学会作两条已知线段的比例中项;
    3.通过让学生自己发现问题,调动学生的思维积极性,培养学生发现问题的能力和探索精神;
    4.通过推论的推导,向学生渗透由一般到非凡的思想方法.
    教学重点:
    正确理解相交弦定理及其推论.
    教学难点:
    在定理的叙述和应用时,学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混,从而导致证实中发生错误,因此务必使学生清楚定理的提出和证实过程,了解是哪两个三角形相似,从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
    教学活动设计
    (一)设置学习情境
    1、图形变换:(利用电脑使AB与CD弦变动)
    ①引导学生观察图形,发现规律:∠A=∠D,∠C=∠B.
    ②进一步得出:△APC∽△DPB.
    .
    ③假如将图形做些变换,去掉AC和BD,图中线段 PA,PB,PC,PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
    组织学生观察,并回答.
    2、证实:
    已知:弦AB和CD交于⊙O内一点P.
    求证:PA·PB=PC·PD.
    (A层学生要练习学生写出已知、求证、证实;B、C层学生在老师引导下完成)
    (证实略)
    (二)定理及推论
    1、相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
    结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理:在⊙O中;弦AB,CD相交于点P,那么PA·PB=PC·PD.
    2、从一般到非凡,发现结论.
    对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互 相垂直如图,AB是直径,并且AB⊥CD于P.
    提问:根据相交弦定理,能得到什么结论?
    指出:PC2=PA·PB.
    请学生用文字语言将这一结论叙述出来,假如叙述不完全、不准确.教师纠正,并板书.
    推论 假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
    3、深刻理解推论:由于圆是轴对称图形,上述结论又可叙述为:半圆上一点C向直径AB作垂线,垂足是P,则PC2=PA·PB.
    若再连结AC,BC,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有:
    PC2=PA·PB ;AC2=AP·AB;CB2=BP·AB
    (三)应用、反思
    例1 已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段,第二条弦的长为32厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长.
    引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
    例2 已知:线段a,b.
    求作:线段c,使c2=ab.
    分析:这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式,因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段.
    作法:口述作法.
    反思:这个作图是作两已知线段的比例中项的问题,可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
    练习1 如图,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.
    变式练习:若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的长度皆为整数.那么CD的长度是 多少?
    将条件隐化,增加难度,提高学生学习爱好
    练习2 如图,CD是⊙O的直径,AB⊥CD,垂足为P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的长.
    练习3 如图:在⊙O中,P是弦AB上一点,OP⊥PC,PC 交⊙O于C. 求证:PC2=PA·PB

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    引导学生分析:由AP·PB,联想到相交弦定理,于是想到延长 CP交⊙O于D,于是有PC·PD=PA·PB.又根据条件OP⊥PC.易 证得PC=PD问题得证.
    (四)小结
    知识:相交弦定理及其推论;
    能力:作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;
    思想方法:学习了由一般到非凡(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.

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