垂直于弦的直径

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    练习1、“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
    (在推论1(1)中,为什么要附加“不是直径”这一条件.)
    练习2、按图填空:在⊙O中,
    (1)若MN⊥AB,MN为直径,则________,________,________;
    (2)若AC=BC,MN为直径,AB不是直径,则则________,________,________;
    (3)若MN⊥AB,AC=BC,则________,________,________;
    (4)若 = ,MN为直径,则________,________,________.
    (此题目的:巩固定理和推论)
    (五)应用、反思
    例、四等分 .
    (A层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)
    教材P80中的第3题图,是典型的错误作.
    此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材P80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的熟悉及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
    (六)小结:
    知识:垂径定理的两个推论.
    能力:①推论的研究方法;②平分弧的作图.
    (七)作业:教材P84中14题.
    第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用
    教学目的:
    ⑴要求学生把握垂径定理及其推论,会解决有关的证实,计算问题.
    ⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
    ⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
    教学重点:垂径定理及其推论在解题中的应用
    教学难点:如何进行辅助线的添加
    教学内容:
    (一)复习
    1.垂径定理及其推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:⑴ 直线过圆心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所对的优弧 ;⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为:“知2推3”
    推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
    2.应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)
    涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
    关系:r = h d ; r2 = d2 (a/2)2
    3.常添加的辅助线:(学生归纳)
    ⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半径 .构造直角三角形
    4.可用于证实:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据.
    (二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)
    例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米).
    说明:①对学生进行爱国主义的教育;②应用题的解题思路:实际问题——(转化,构造直角三角形)——数学问题.
    例2、已知:⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ,AB = 6 ,CD =8 .求:AB与CD间的距离.(让学生画图)
    解:分两种情况:
    (1)当弦AB、CD在圆心O的两侧
    过点O作EF⊥AB于E,连结OA、OC,
    又∵AB∥CD,∴EF⊥CD.(作辅助线是难点,学生往往作OE⊥AB,OF⊥AB,就得EF=OE OF,错误的结论)
    由EF过圆心O,EF⊥AB,AB = 6,得AE=3,
    在Rt△OEA中,由勾股定理,得
    ,∴
    同理可得:OF=3
    ∴EF=OE OF=4 3=7.
    (2)当弦AB、CD在圆心O的同侧
    同(1)的方法可得:OE=4,OF=3.
    ∴.
    说明:①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②培养学生作辅助线的方法和能力.
    例3、 已知:如图,AB是⊙O的弦,半径OC∥AB ,AB=24 ,OC = 15 .求:BC的长.
   

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解:(略,过O作OE⊥AE于E ,过B作BF⊥OC于F ,连结OB.BC = )
    说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系.
    (三)应用练习:
    P8l中1题.
    在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.
    学生分析,教师适当点拨.
    分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
    (四)小结:
    1. 垂径定理及其推论的应用注重指明条件.
    2. 应用定理可以证实的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用.
    (五)作业:教材P84中15、16题,P85中B组2、3题.
    探究活动
    如图,直线MN与⊙O交于点A、B,CD是⊙O的直径,CE⊥MN于E,DF⊥MN于F,OH⊥MN于H.
    (1)线段AE、BF之间存在怎样的关系?线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系?并说明理由.
    (2)当直线CD的两个端点在MN两侧时,上述关系是否仍能成立?假如不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由.
    (答案提示:(1)AE=BF,CE DF=2OH,(2)AE=BF仍然成立,CE DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足)

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