垂直于弦的直径

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垂直于弦的直径

    第一课时 垂直于弦的直径(一)
    教学目标:
    (1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证实;
    (2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;
    (3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.
    教学重点、难点:
    重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.
    难点:垂径定理的证实.
    教学学习活动设计:
    (一)实验活动,提出问题:
    1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
    2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
    通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
    (二)垂径定理及证实:
    已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.
    求证:AE=EB, = , = .
    证实:连结OA、OB,则OA=OB.又∵CD⊥AB,∴直线CD是等腰△OAB的对称轴,又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合, 、 分别和 、 重合.因此,AE=BE, = , = .从而得到圆的一条重要性质.
    垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
    组织学生剖析垂径定理的条件和结论:
    CD为⊙O的直径,CD⊥AB AE=EB, = , = .
    为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.
    (三)应用和练习
    例1、如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.
    分析:要求⊙O的半径,连结OA,只要求出OA的长就可以了,因为已知条件点O到AB的距离为3cm,所以作OE⊥AB于E,而AE=EB= AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.
    解:连结OA,作OE⊥AB于E.
    则AE=EB.
    ∵AB=8cm,∴AE=4cm.
    又∵OE=3cm,
    在Rt△AOE中,
    (cm).
    ∴⊙O的半径为5 cm.
    说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
    关系:r = h d;r2 = d2 (a/2)2
    例2、 已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证实略)
    说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成.
    练习1:教材P78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价、交流.
    指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
    (四)小节与反思
    教师组织学生进行:
    知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.
    方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
    (五)作业
    教材P84中11、12、13.
    第二课时 垂直于弦的直径(二)
    教学目标:
    (1)使学生把握垂径定理的两个推论及其简单的应用;
    (2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
    (3)渗透一般到非凡,非凡到一般的辩证关系.
    教学重点、难点:
    重点:①垂径定理的两个推论;②对推论的探究方法.
    难点:垂径定理的推论1.
    学习活动设计:
    (一)分解定理(对定理的剖析)
    1、复习提问:定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧.
    2、剖析:
    (教师指导)
    (二)新组合,发现新问题:(A层学生自己组合,小组交流,B层学生老师引导)
    , ,……(包括原定理,一共有10种)
    (三)

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探究新问题,归纳新结论:
    (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧.
    (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧.
    (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
    (4)圆的两条平行线所夹的弧相等.
    (四)巩固练习:

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