圆

圆,标签：中学数学教案,http://www.xuehuiba.com
    (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r);
    (2)到定点距离等于定长的的点都在圆上;(结合下图)
    引出轨迹的概念:我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思:(1)图形是由符合条件的那些点组成的,就是说,图形上的任何一点都符合条件;(2)图形包含了符合条件的所有的点,就是说,符合条件的任何一点都在图形上.(轨迹的概念非常抽象,是教学的难点,这里教师要精讲,细讲)
    上面左图符合(1)但不符合(2);中图不符合(1)但符合(2);只有右图(1)(2)都符合.因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆.
    轨迹1:“到定点距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆”。(研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键)
    (二)类比、研究1
    (在老师指导下,通过电脑动画,学生归纳、整理、概括、迁移,获得新知识)
    轨迹2:和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线;
    轨迹3:到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线;
    (三)巩固概念
    练习:画图说明满足下列条件的点的轨迹:
    (1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹;
    (2)到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹;
    (3)经过已知点A、B的圆O,圆心O的轨迹.
    (A层学生独立画图,回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹;B、C层学生在老师的指导或带领下完成)
    (四)类比、研究2
    (这是第二次“类比”,目的:使学生的知识和能力螺旋上升.这次通过电脑动画,使A层学生自己做,进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力)
    轨迹4:到直线l的距离等于定长d的点的轨迹,是平行于这条直线,并且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
    轨迹5:到两条平行线的距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线.
    (五)巩固练习
    练习题1:画图说明满足下面条件的点的轨迹:
    1.到直线l的距离等于2cm的点的轨迹;
    2.已知直线AB∥CD,到AB、CD距离相等的点的轨迹.
    (A层学生独立画图探索;然后回答出点的轨迹是什么,对B、C层学生回答有一定的困难,这时教师要从规律上和方法上指导学生)
    练习题2:判定题
    1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹,是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线.()
    2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹,是到点B的距离等于5cm的圆.()
    3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹,是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线.()
    4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹,是底边a的垂直平分线.()
    (这组练习题的目的,练习学生思维的准确性和语言表达的正确性.题目由学生自主完成、交流、反思)
    (教材的练习题、习题即可,因为这部分知识属于选学内容,而轨迹概念又比较抽象,不要对学生要求太高,了解就行、理解就高要求)
    (六)理解、小结
    (1)轨迹的定义两层意思;
    (2)常见的五种轨迹。
    (七)作业
    教材P82习题2、6.
    探究活动
    爱尔特希问题
    在平面上有四个点,任意三点都可以构成等腰三角形,你能找到这样的四点吗?
    分析与解:开始自然是尝试、探索,主要应以如何构造出这样的点来考虑.最轻易想到的是,使一个点到另三个点等距离,换句话说,以一个点为圆心,作一个圆,其他三个点在此圆上寻找,只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可,于是得到如图中的上面两种形式.
    其次,取边长都相等的四边形,即为菱形的四个顶点(见图中第3个图).
    最后,取梯形ABCD,其中AB=BC=CD,且AD=BD=AC,但是这样苛刻条件的梯形存在吗

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?实际上,只要将任一圆周5等分,取其中任意四点即可(见图中的第4个图).
    综上所述,符合题意的四点有且仅有三种构形:①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心);②任意菱形的4个顶点;③任意正五边形的其中4个顶点.
    上述问题是大数学家爱尔特希(P.Erdos)提出的:“在平面内有n个点,其中任意三点都能构成等腰三角形”中n=4的情形.
    当n=3、4、5、6时,爱尔特希问题都有解.已经证实,时,问题无解.

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