数学教学设计-正多边形和圆
例2、已知:正六边形ABCDEF.
求作:正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆.
作法:1过A、B、C三点作⊙O.⊙
www.xuehuiba.comO就是所求作的正六边形的外接圆.
2、以O为圆心,以O到AB的距离(OH)为半径作圆,所作的圆就是正六边形的内切圆.
用同样的方法,我们可以作正n边形的外接圆与内切圆.
练习:P161
1、求证:各边相等的圆内接多边形是正多边形.
2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是,举出一个反例.
(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形;
(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形.
3、已知:正方形ABCD.求作:正方形ABCD的外接圆与内切圆.
(三)小结
知识:复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法.
能力与方法:重点复习了正多边形的判定.正多边形的外接圆与内切圆的画法.
(四)作业
教材P172习题4、5;另A层学生:P174B组3、4.
探究活动
折叠问题:(1)想一想:怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形.
(提示:①对折;②再折使A、B、C分别与O点重合即可)
(2)想一想:能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形.
(提示:可以.主要应用把一个直角三等分的原理.参考图形如下:
①对折成小正方形ABCD;
②对折小正方形ABCD的中线;
③对折使点B在小正方形ABCD的中线上(即B’);
④则B、B’为正六边形的两个顶点,这样可得满足条件的正六边形.)
探究问题:
(安徽省2002)某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时,进行如下讨论:
甲同学:这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形;
乙同学:我发现边数是6时,它也不一定是正多边形.如图一,△ABC是正三角形, 形, = = ,可以证明六边形ADBECF的各内角相等,但它未必是正六边形;
丙同学:我能证明,边数是5时,它是正多边形.我想,边数是7时,它可能也 是正多边形.
(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等.
(2)请你证明,各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证).
(3)根据以上探索过程,提出你的猜想(不必证明).
(1)[说明]
(2)[证明]
(3)[猜想]
解:(1)由图知∠AFC对 .因为 = ,而∠DAF对的 = + = + = .所以∠AFC=∠DAF.
同理可证,其余各角都等于∠AFC.所以,图1中六边形各内角相.
(2)因为∠A对 ,∠B对 ,又因为∠A=∠B,所以 = .所以 = .
同理 = = = = = = .所以 七边形ABCDEFG是正七边形.
猜想:当边数是奇数时(或当边数是3,5,7,9,……时),各内角相等的圆内接多边形是正多边形.
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