数学教学设计－正多边形和圆

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　　例2、已知：正六边形ABCDEF．

　　 求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．

　　作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙

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O就是所求作的正六边形的外接圆．

　　2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．

　　用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．

　　练习：P161

　　1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．

　　2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例．

　　(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；

　　(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．

　　3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆．

　　（三）小结

　　知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．

　　能力与方法：重点复习了正多边形的判定．正多边形的外接圆与内切圆的画法．

　　（四）作业

　　教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4．

探究活动

　　折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．

　　（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）

　　（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形．

　　（提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理．参考图形如下：

　　①对折成小正方形ABCD；

　　②对折小正方形ABCD的中线；

　　③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；

　　④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形．）

 

　　探究问题：

　　（安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

　　甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；

　　乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形,    形， = = ，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；

　　丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也 是正多边形．

　　(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．

　　(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)．

　　(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．

　　（1）[说明]

　　（2）[证明]

　　（3）[猜想]

　　解：（1）由图知∠AFC对 ．因为 = ，而∠DAF对的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

　　同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相．

　　（2）因为∠A对 ，∠B对 ，又因为∠A=∠B，所以 = ．所以  = ．

　　同理 = = = = = = ．所以　七边形ABCDEFG是正七边形．

　　猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形．

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