数学教学设计－两圆的公切线

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　　（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；

　　（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．

　　教学重点：

　　两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．

　　教学难点：

　　两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．

　　教学活动设计

　　（一）复习基础知识

　　（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．

　　（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）

　　（二）应用、反思

　　例1、（教材例2）已知：⊙O₁和⊙O₂的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距 为10厘米，AB是⊙O₁和⊙O₂的一条内公切线，切点分别是A，B．

　　求：公切线的长AB。

　　组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．

 

　　解：连结O₁A、O₂B，作O₁A⊥AB，O₂B⊥AB．

　　过 O₁作O₁C⊥O₂B，交O₂B的延长线于C，

　　则O₁C= AB，O₁A=BC．

　　在Rt△O₂CO₁和．

　　　O₁O₂=10，O₂C= O₂B+ O₁A=6

　　　∴O₁C= (cm)．

　　　∴AB=8（cm）

　　反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在Rt△O₂CO₁中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．

　　例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求V形角α的度数．

　　解：(略)

　　反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．

　　组织学生进行，教师引导．

　　归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和R+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．

， ；

　　（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．

　　（三）巩固训练

　　教材P142练习第1题，教材P145练习第1题．

　　学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．

　　（四）小结

　　（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；

　　（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；

　　（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．

　　（五）作业

　　教材P153中12、13、14．
第三课时 两圆的公切线（三）

　　教学目标：

　　（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；

　　（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．

　　教学重点：

　　会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．

　　教学难点：

　　综合知识的灵活应用和综合能力培养．

　　教学活动设计

　　（一）复习基础知识

　　（1）两圆的公切线概念．

　　（2）切线的性质，弦切角等有关概念．

　　（二）公切线在解题中的应用

　　例1、如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切线，B，C为切点．若连结AB、AC会构成一个怎样的三角形呢？

　　

　　观察、度量实验（组织学生进行）

　　猜想：（学生猜想）∠BAC=90°

　　证明：过点A作⊙O₁和⊙O₂的内切线交BC于点O．

　　∵OA、OB是⊙O₁的切线，

　　∴OA=OB．

　　同理OA=OC．

　　∴ OA=O

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B=OC．

　　∴∠BAC=90°．

　　反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法．

　　例2、己知：如图，⊙O₁和⊙O₂内切于P，大圆的弦AB交小圆于C，D．

　　求证：∠APC＝∠BPD．

　　分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线O₁O₂，或作外公切线．

　　证明：过P点作两圆的公切线MN．

　　∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，

　　∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，

　　即∠APC＝∠BPD．

　　反思：（1）作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视MN的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．

　　拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）

　　己知：如图，⊙O₁和⊙O₂内切于P，大圆⊙O₁的弦AB与小圆⊙O₂相切于C点．

　　是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．

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