不等式的证明(一）

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也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．

　　⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．

（二）教法建议

　　①选择例题和习题要注意层次性．

　　不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的

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．教师在教学中要注意例题安排要由易到难，由简单到综合，层层深入，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系．教师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当．

　　要坚持精讲精练的原则．通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对知识进行拓展、延伸，使学生沟通知识，有效地提高解题能力．

　　②在教学过程中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与．

　　通过学生参与教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题．

　　③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难．

第一课时

教学目标

　　1．掌握证明不等式的方法——比较法；

　　2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．

教学重点  比较法的意义和基本步骤.

教学难点  常见的变形技巧.

教学方法  启发引导式.

教学过程

    （－）导入新课

　　（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？．

　　（学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题．

　　（学生甲回答： ， ， ，）

　　［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数 与 的大小，只要考察 与 的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．（板书课题）

　　设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索，建立新知】

　　（教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目

　　[问题] 求证

　　教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．

　　（学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题．

　　（得出证明过程后）

　　［点评］

　　 ①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．

　　 ②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．

　　 ③理论依据是：

　　  ④由 ， ，知：要证明 只要证 ；要证明 这种证明不等式的方法通常叫做比较法．

　　设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．

　　【例题示范，学会应用】

　　（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．

　　例1 求证

　　（学生活动）学生在教师引导下，研究问题．与教师一道完成问题的论证．

　　［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得 ，将此式看作关于 的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．

　　证明：∵

　　＝

　　＝ ，

　　∴ ．

    ［点评］

　　①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号．

　　 ②作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定．

　　 ③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断．

　　变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．至于怎样变形，要灵活处理，例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．

　　 例2  已知都是正数，并且 ，求证：

　　［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．

　　证明：

　　＝

　　＝ ．

　　因为 都是正数，且 ，所以

．

　　∴                  &

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