函数的单调性

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     （用投影幻灯给出图象．）

     生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．

     生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？

     师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，

    

     （增或减）．反之不然．

     例2  证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．

     师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．

     （指出用定义证明的必要性．）

     师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．

     （教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x₁）和f（x₂）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）

     师：对于f（x₁）和f（x₂）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．

     生：（板演）设x₁，x₂是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x₁＜x₂时，

     f（x₁）-f（x₂）=（3x₁+2）-（3x₂+2）=3x₁-3x₂=3（x₁-x₂）＜0，

     所以f（x）是增函数．

     师：他的证明思路是清楚的．一开始设x₁，x₂是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x₁＜x₂（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x₁）-f（x₂），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x₁）-f（x₂）＜0，没有用到开始的假设“x₁＜x₂”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，从而f（x₁）-f（x₂）＜0，

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即f（x₁）＜f（x₂）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．

     这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以

    

     小．

     （对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）

    

     调函数吗？并用定义证明你的结论．

    

    

     师：你的结论是什么呢？

    

     上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．

     生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x₁∈（-∞，0），取x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂显然成立，而f（x₁）＜0，f（x₂）＞0，显然有f（x₁）＜f（x₂），而不是f（x₁）＞f（x₂），因此它不是定义域内的减函数．

    

     生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．

    

     域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．

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