切线长定理

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切线长定理

    1、教材分析
    (1)知识结构
    (2)重点、难点分析
    重点:切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证实线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节的重点.
    难点:与切线长定理有关的证实和计算问题.如120页练习题中第3题,它不仅应用切线长定理,还用到解方程组的知识,是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来.
    2、教法建议
    本节内容需要一个课时.
    (1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证实,并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结;
    (2)在教学中,以“观察——猜想——证实——剖析——应用——归纳”为主线,开展在教师组织下,以学生为主体,活动式教学.
    教学目标
    1.理解切线长的概念,把握切线长定理;
    2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想.
    3.通过对定理的猜想和证实,激发学生的学习爱好,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度.
    教学重点:
    切线长定理是教学重点
    教学难点:
    切线长定理的灵活运用是教学难点
    教学过程设计:
    (一)观察、猜想、证实,形成定理
    1、切线长的概念.
    如图,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,我们把线段PA,PB叫做点P到⊙O的切线长.
    引导学生理解:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
    2、观察
    利用电脑变动点P 的位置,观察图形的特征和各量之间的关系.
    3、猜想
    引导学生直观判定,猜想图中PA是否等于PB. PA=PB.
    4、证实猜想,形成定理.
    猜想是否正确。需要证实.
    组织学生分析证实方法.关键是作出辅助线OA,OB,要证实PA=PB.
    想一想:根据图形,你还可以得到什么结论?
    ∠OPA=∠OPB(如图)等.
    切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
    5、归纳:
    把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
    6、切线长定理的基本图形研究
    如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.直线OP交⊙O于点D,E,交AP于C
    (1)写出图中所有的垂直关系;
    (2)写出图中所有的全等三角形;
    (3)写出图中所有的相似三角形;
    (4)写出图中所有的等腰三角形.
    说明:对基本图形的深刻研究和熟悉是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基础.
    (二)应用、归纳、反思
    例1、已知:如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,
    A和B是切点,BC是直径.
    求证:AC∥OP.
    分析:从条件想,由P是⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A,B是切点可得PA=PB,∠APO=∠BPO,又由条件BC是直径,可得OB=OC,由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线AB.
    从结论想,要证AC∥OP,假如连结AB交OP于O,转化为证CA⊥AB,OP ⊥AB,或从OD为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证,可获得多种证法.
    证法一.如图.连结AB.
    PA,PB分别切⊙O于A,B
    ∴PA=PB∠APO=∠BPO
    ∴ OP ⊥AB
    又∵BC为⊙O直径
    ∴AC⊥AB
    ∴AC∥OP (学生板书)
    证法二.连结AB,交OP于D
    PA,PB分别切⊙O于A、B
    ∴PA=PB∠APO=∠BPO
    ∴AD=BD
    又∵BO=DO
    ∴OD是△ABC的中位线
    ∴AC∥OP
    证法三.连结AB,设OP与AB弧交于点E
    PA,PB分别切⊙O于A、B
    ∴PA=PB
    ∴ OP ⊥AB
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bsp;  ∴ =
    ∴∠C=∠POB
    ∴AC∥OP
    反思:教师引导学生比较以上证法,激发学生的学习爱好,培养学生灵活应用知识的能力.
    例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等.
    (分析和解题略)
    反思:(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质,请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质:对角互补.
    P120练习:
    练习1填空

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