不等式的证明（二）

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　　【例题示范、学会应用】

　　（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用综合法证明不等式，并点评用综合法证明不等式必须注意的问题．

　　（学生活动）学生在教师诱导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．

　　例1　已知 ，求证

　　［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证．

　　证明：因为 ，则 ，所以 ．故

 　　［点评］此题的证明方法是综合法，在证明过程中，把平均值定理作为已知不等式，而平均值定理是有条件限制的，所以要用重要不等式作为已知不等式，注意要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征．

　　例2  已知a，b，c是不全相等的正数，求证

　　[分析]由不等式右边为6abc是积的形式，左边是和的形式，可知由 出发可证．

　　证明一（见课本）

　　证明二：　

　　　　　　

　　　　　　

　　因为a，b，c是不全相等的正数．所以 ， ， ，且三式不能全取“=”号．

　　所以                  

　　即     

　　[点评]

　　①综合法的思维特点是：由已知推出结论．用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：

； （ ）； （ ）； （a，b同号）， （ ）。

　　②此例中条件a，b，c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号．

　　③由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出

的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明．

　　我们在证明不等式时，选择方法要适当，不要对某种方法抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法．

　　设计意图：巩固用综合法证明不等式的知识，掌握用综合法证明不等式中，常用的重要不等式，理解综合法证明不等式与比较法证明不等式的内在联系．

　　【课堂练习】

　　（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正，点评练习中存在的问题．

　　（学生活动）在笔记本上完成练习．甲、乙两位同学板演．

　　［字幕］练习1 已知，求证

　　2．已知 ，求证

　　设计意图：掌握用综合法证明不等式，并会灵活运用重要不等式作为证明中的已知不等式．反馈课堂效果，调节课堂教学．

　　【分析归纳，小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程．小结用综合法证明不等式的解题方法．

　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．

　　1．综合法是证明不等式的基本方法．用综合法证明不等式的逻辑关系是： … （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等式）．即综合法是“由因导果”．

　　2．运用不等式的性质和已证明过的木等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．

　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握综合法证明不等式的方法．

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

　　本节课学习了用综合法证明不等式，用综合法证明不等式的依据是：l。已知条件和不等式性质；2．基本不等式．能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件．

　　设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

　　（四）布置作业

　　1．课本作业：P17  5．6．

　　2．思考题：若 ，求证

　　3．研究性题：某

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市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 千米／小时的速度直达灾区．已知某市到灾区的公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得小于 千米．

　　那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？

　　设计意图：课本作业巩固基础知识，思考题供学有余力的同学完成．研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

　　（五）课后点评

　　1．在导入新课时设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使学生没有想到，教师引导起来也并不困难．因而顺着学生的思路，帮助学生形成用综合法证明不等式的知识结构．

　　2．例1与例2的学习使学生理解掌握综合法证明不等式的原理，发现综合法与比较法的内在联系．在教学设计上，力图从学生的需要出发设计问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的方法能用、会用．

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