数学教学设计－圆和圆的位置关系

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心距和两圆半径的数量关系；

　　③两圆相切时切点在连心线上的性质．

　　能力：观察、分析、分类、数形结合等能力．

　　思想方法：分类思想、数形结合思想．

　　（六）作业

　　教材P151中习题A组2，3，4题．
第二课时 相交两圆的性质

　教学目标

　　1、掌握相交两圆的性质定理；

　　2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；

　　3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；

　　4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美．

　教学重点

　　相交两圆的性质及应用．

　教学难点

　　应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线．

　教学活动设计

　　（一）图形的对称美

　 　

　　相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢?

　　 （二）观察、猜想、证明

　　1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．

　　2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．

　　3、证明：

　　对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成．

　　已知：⊙O₁和⊙O₂相交于A，B．

　　求证：Q₁O₂是AB的垂直平分线．

　　分析：要证明O₁O₂是AB的垂直平分线，只要证明O₁O₂上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O₁A、O₂A、O₁B、O₂B． 

　　证明：连结O₁A、O₁B、 O₂A、O₂B，∵O₁A=O₁B，

　　∴O₁点在AB的垂直平分线上．

　　又∵O₂A＝O₂B，∴点O₂在AB的垂直平分线上．

　　因此O₁O₂是AB的垂直平分线．

　　也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：

　　∵⊙O_l和⊙O₂，是轴对称图形，∴直线O₁O₂是⊙O_l和⊙O₂的对称轴．

　　∴⊙O_l和⊙O₂的公共点A关于直线O₁O₂的对称点即在⊙O_l上又在⊙O₂上．

　　∴A点关于直线O₁O₂的对称点只能是B点，

　　∴连心线O₁O₂是AB的垂直平分线．

　　定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．

　　注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．

　　（三）应用、反思

　　例1、已知两个等圆⊙O_l和⊙O₂相交于A，B两点，⊙O_l经O_2。

　　求∠O_lAB的度数．

　　分析：由所学定理可知，O₁O₂是AB的垂直平分线，

　　 又⊙O₁与⊙O₂是两个等圆，因此连结O₁O₂和AO₂，AO₁，△O₁AO₂构成等边三角形，同时可以推证⊙O _l和⊙O₂构成的图形不仅是以O₁O₂为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由

　　∠O_lAO₂＝60°，推得∠O_lAB＝30°．

　　解：⊙O₁经过O₂，⊙O₁与⊙O₂是两个等圆

　　∴O_lA= O₁O₂= AO₂

　　∴∠O₁A O₂=60°，

　　又AB⊥O₁O₂

　　∴∠O_lAB =30°．

　　 例2、已知，如图，A是⊙O _l、⊙O₂的一个交点，点P是O₁O₂的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O _l、⊙O₂于M、N。

　　求证：AM=AN．

　　证明：过点O_l、O₂分别作O_lC⊥MN、O₂D⊥MN，垂足为C、D，则O_lC∥PA∥O₂D，且AC= AM，AD= AN．

　　∵O_lP= O₂P ，∴AD=AM，∴AM=AN．

　　 例3、已知：如图，⊙O_l与⊙O

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2相交于A、B两点，C为⊙O_l上一点，AC交⊙O₂于D，过B作直线EF交⊙O_l、⊙O₂于E、F．

　　求证：EC∥DF

　　证明：连结AB

　　∵在⊙O₂中∠F=∠CAB，

　　在⊙O_l中∠CAB=∠E，

　　∴∠F=∠E，∴EC∥DF．

　　反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解．

　　（四）小结

　　知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据．

　　能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用．

　　（五）作业  教材P152习题A组7、8、9题；B组1题．

探究活动

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